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| Examensaufgaben - Erste Staatsprüfung für ein Lehramt an öffentlichen Schulen, Fachdidaktik Mathematik - Realschule (43919) |
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23 II |
23 I |
22 |
22 I |
21 II |
21 I |
20 II |
20 I |
19 II |
19 I |
18 II |
18 I |
17 II |
17 I |
15 II |
15 I |
14 II |
14 I |
13 II |
13 I |
12 II |
12 I |
11 II |
11 I |
10 II |
10 I |
09 II |
09 I |
08 II |
08 I |
07 I |
06 II |
06 I |
05 II |
05 I |
04 II |
04 I |
03 II |
03 I |
02 II |
02 I |
01 II |
01 I |
00 I |
00 II |
99 I |
99 II |
98 I |
98 II |
97 I |
97 II |
96 I |
96 II |
95 I | 95 II |
94 I |
94 II |
93 I |
93 II |
92 I |
92 II |
91 I |
91 II |
90 I |
90 II |
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| Negative Zahlen | x | x | X |
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| Rationale Zahlen | x | x | x | X |
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| Reelle Zahlen | X | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Potenzen | x | x | x |
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| Wurzeln | x |
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| Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion | x | X | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Teilbarkeit | x |
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| Dezimalbrüche | x | x | x | x |
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| Trigonometrie | x | x | x |
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| Terme | x | x |
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| Gleichungen | x | x | x | x | x | x | X |
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| Funktionen | x | x | x | x | x | x | x | x | X |
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| Intervallschachtelung |
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| Proportionalität | x |
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| Prozentrechnung | x |
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| Vektoren |
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| Orthogonalität | x |
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| Parallelität | x | x |
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| Kongruenzabbildungen | x | x | x |
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| Ähnlichkeitsabbildungen |
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| Symmetrie | x | x | x | x | X |
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| Teilverhältnis | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Dreiecke | x | x | x | X |
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| Vieleck (ohne Dreieck) | x | x | x |
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| Kreis | x | x | X |
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| Flächenberechnung | x | x | x |
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| Problemlösen | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Projektionen |
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| Körper | x | x | x | x | x | x |
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| Raumgeometrie | x |
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| Volumen | x | x | x | x |
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| Winkel | x | X | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Pythagoras | x | x | x | x | x |
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| Wahrscheinlichkeit/ Statistik | x | x | x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| sonstige Themen | X | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Fächerübergreifendes Arbeiten |
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1. Erläutern Sie den Begriff "Potenzen mit ganzzahligen Exponenten"!
2. Diskutieren Sie zwei unterrichtliche Aktivitäten, um die ganzen Zahlen im Mathematikunterricht einzuführen!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zur Einführung der Addition von ganzen Zahlen!
1.a) Formulieren und diskutieren Sie zwei elementargeometrische Definitionen zur "Parallelität von Geraden"!
1.b) Erläutern und begründen Sie die Beziehungen zwischen "Parallelität von Geraden" und "Steigung von Geraden im Koordinatensystem"!
2. Beschreiben Sie zwei unterrichtliche Möglichkeiten zur Lösung eines Systems zweier linearer Gleichungen mit zwei Unbekannten!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema "zueinander senkrechte Geraden im Koordinatensystem"!
1. Erläutern Sie das Heron-Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Quadratwurzeln!
2. Beschreiben Sie zwei unterschiedliche Methoden zur Lösung von Extremwertproblemen in der Realschule!
3. In einer Unterrichtseinheit soll unter allen Rechtecken mit konstantem Umfang dasjenige mit maximalem Flächeninhalt bestimmt werden. Skizzieren Sie einen möglichen Unterrichtsverlauf und begründen Sie wesentliche Schritte aus didaktischer Sicht!
1. Erläutern Sie den Begriff "lineare Funktion"! Gehen Sie dabei auf die Eigenschaften des Funktionsgraphen ein!
2. Erläutern Sie zwei unterrichtliche Aktivitäten zur Erarbeitung der Eigenschaften der Graphen von linearen Funktionen!
3. Entwerfen ie eine Unterrichtseinheit zum Thema “Steigung und Parallelität von Geraden”!
1. Erläutern ie die Begriffe “Ergebnis”, “Ereignis” und “Laplace-Experiment” im Zusammenhang mit Zufallsexperimenten!
2. Diskutieren Sie drei unterschiedliche Aufgabenstellungen im Kontext von Laplace- und Nicht-Laplace-Experimenten unter fachdidaktischen Gesichtspunkten!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum empirischen Gesetz der großen Zahlen! Gehen Sie dabei auch auf einen mölichen Computereinsatz ein!
1. Erläutern Sie die Begriffe “Würfel”, “Quader” und “Prisma”!
2. Erläutern Sie drei grundsätzlich verschiedene kopfgeometrische Aufgaben aus dem Themenbereich Würfel und/oder Quader!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema “Netze von Quadern”, die der Heterogenität von Schülerinnen und Schülern gerecht wird!
1. Erläutern Sie die Begriffe "allgemeine Form", "Scheitelpunktform" und "Nullstellenform" quadratischer Funktionen! Gehen Sie auch auf Zusammenhänge zwischen diesen Begriffen ein!
2. Erläutern Sie anhand konkreter Aufgaben, wie Lernende die Bedeutung der Parameter in der Scheitelpunktform quadratischer Funktionen erarbeiten können!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema "Nullstellen quadratischer Funktionen"!
1. Erklären Sie den Begriff "Teiler einer natürlichen Zahl"!
2. Erläutern und begründen Sie auf schulischem Niveau eine Endstellen- und eine Quersummenregel zur Teilbarkeit!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der die folgende Aufgabe thematisiert wird:
"Eine 3,60m breite und 2,80 m lange rechteckige Terrasse soll ohne zu stückeln mit möglichst großen quadratischen Platten ausgelegt werden. Wie groß können die Platten sein?"1. Definieren Sie die Begriffe "Kreis", "Kreissektor" und "Kreissegment" und leiten Sie je eine Flächeninhaltsformel für Kreissektoren und Kreissegmente her!
2. Erläutern Sie zwei unterrichtliche Aktivitäten zur Drehung unter fachdidaktischen Gesichtspunkten!
3. Entwerfen Sie eine Unterrichtseinheit, in der zu einem gegebenen Kreis alle Tangenten bestimmt werden sollen, die durch einen gegebenen Punkt außerhalb des Kreises gehen!
1. Erläutern Sie die Begriffe "gewöhnlicher Bruch" und "Dezimalzahl"! Gehen Sie dabei auch auf Spezialfälle ein!
2. Diskutieren Sie unterrichtliche Aktivitäten zur wechselseitigen Umrechnung von gewöhnlichen Brüchen und Dezimalzahlen!
Gehen Sie dabei auf die verschiedenen Arten von Dezimalzahlen ein!3. Entwerfen Sie eine Unterrichtseinheit, in der die Vor- und Nachteile der beiden Darstellungen gewöhnlicher Bruch und Dezimalzahl bei der Addition und Multiplikation von Brüchen gegenübergestellt werden!
1. Erläutern Sie den Begriff "quadratische Funktion"!
2. Diskutieren Sie verschiedene Verfahren zur Bestimmung der Lösungsmenge einer rein- bzw. gemischt quadratischen Gleichung für die Realschule!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der die Scheitelpunktform
aus der Form
hergeleitet wird!
1. Charakterisieren Sie die relevanten Vierecksformen durch die Eigenschaft der Symmetrie und erläutern Sie eine geeignete Hierarchie!
2. Erläutern Sie zwei unterrichtliche Zugänge zur Flächeninhaltsformel für das Drachenviereck!
3. Nennen Sie Lernvoraussetzungen und Lernziele einer Unterrichtseinheit zur Einführung der Flächeninhaltsformel für das Trapez!
Schildern Sie wesentliche unterrichtliche Schritte und begründen Sie diese unter mathematikdidaktischen Gesichtspunkten!
1. Formulieren Sie den Begriff "lineare Funktion"!
2. Beschreiben Sie drei unterrichtliche Möglichkeiten zur Einführung von linearen Funktionen im Unterricht!
3. Entwerfen Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema "zueinander senkrechte Geraden im Koordinatensystem"!
1. Erklären Sie die Grundbegriffe der Prozentrechnung!
2. Geben Sie eine zum Einstieg in die Prozentrechnung geeignete Sachaufgabe an und erläutern Sie anhand dieser unterschiedliche Methoden, mit denen Aufgaben zur Prozentrechnung gelöst werden können!
3. In einer Unterrichtseinheit soll das Lösen von Anwendungsaufgaben zur Prozentrechnung eingeübt werden. Formulieren Sie Lernvoraussetzungen und Lernziele, schildern Sie wesentliche Schritte der
Unterrichtseinheit und begründen Sie Ihr Vorgehen unter fachdidaktischen Gesichtspunkten!1. Erkläutern Sie die Formel für das Volumen von Quadern! Berücksichtigen Sie dabei auch rationale Werte für die Maßzahlen der Seitenlängen!
2. Erläutern Sie anhand von drei exemplarischen Aktivitäten, welches vertiefte Wissen zu dieser Volumenformel Schülerinnen und Schüler im Kontext der Einführung dieser Formel erwerben sollen und
und wie dieses Wissen erarbeitet werden kann!3. In einer Unterrichtseinheit sollen Strategien zur Umrechnung von Volumenangaben zwischen unterschiedlichen Maßeinheiten eingeübt werden. Formulieren Sie Lernvoraussetzungen und Lernziele,
schildern Sie wesentliche Schritte der Unterrichtseinheit und begründen Sie Ihr Vorgehen unter fachdidaktischen Gesichtspunkten!
1. Formulieren Sie den Satz von Pythagoras und seinen Kehrsatz! Beweisen Sie beide Sätze!
2. Beschreiben Sie drei Anwendungen des Satzes von Pythagoras bei raumgeometrischen Problemstellungen!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Kongruenzsatz "SSS"!
1. Erläutern Sie die Begriffe "Pyramide" und "Prisma"!
2. Diskutieren Sie drei unterschiedliche Typen von Modellen geometrischer Körper! Geben Sie für jeden Modelltyp auch ein Einsatzbeispiel im Unterricht an!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zur Berechnung der Höhe eines geraden Kreiskegels, bei dem die Länge der Mantellinie und der Umfang des Grundkreises gegeben sind!
1. Begründen Sie die Vorzeichenregeln für die Multiplikation ganzer Zahlen! (Es darf beispielgebunden argumentiert werden.)
2. Erläutern Sie zwei wesentlich unterschiedliche Modelle zur Darstellung von Addition und Subtraktion ganzer Zahlen! Gehen Sie insbesondere darauf ein, wie im jeweiligen Modell Vorzeichen
und Rechenzeichen unterschieden werden und wie man erarbeiten kann, dass der Subtraktion einer negativen Zahl die Addition ihrer Gegenzahl entspricht!3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der die ganzen Zahlen eingeführt werden!
1. Definieren Sie die folgenden Transversalen im Dreieck: Mittelsenkrechte, Seitenhalbierende, Winkelhalbierende!
Erläutern Sie die sich daraus ergebenden Transversalenschnittpunkte im Dreieck!
Beweisen Sie die Existenz für einen dieser Transversalenschnittpunkte!2. Geben Sie für zwei der Transversalenschnittpunkte je eine anwendungsbezogene Aufgabenstellung an und diskutieren Sie diese unter fachdidaktischen Gesichtspunkten!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der der Zusammenhang zwischen Eigenschaften eines Dreiecks und der Lage des Schnittpunkts der Mittelsenkrechten untersucht wird!
1. Erläutern Sie die Darstellung rationaler Zahlen mittels gewöhnlicher Brüche und in Dezimaldarstellung!
2. Beschreiben Sie drei verschiedene Grundvorstellungen zu Bruchzahlen ("Bruchzahlaspekte"), die Schülerinnen und Schüler im Hinblick auf Brüche entwickeln sollten!
Illustrieren Sie diese anhand geeigneter Beispiele!3. Die Addition von Brüchen soll, beispielsweise ausgehend von der abgebildeten Sachsituation, eingeführt werden! Beschreiben Sie wesentliche unterrichtliche Schritte und begründen Sie diese unter mathematikdidaktischen Gesichtspunkten!
Beim Kuchenverkauf ist an den Verkauffständen unterschiedlich viel Kuchen übriggeblieben.
1. Formulieren und beweisen Sie den Kathetensatz und den zugehörigen Kehrsatz!
2. Formulieren Sie das Prinzip von Cavalieri und erläutern Sie, wie Sie das Prinzip von Cavalieri im Unterricht plausibel machen können! Erläutern Sie eine Anwendung des Prinzips von Cavalieri im Mathematikunterricht!
3. In einer Unterrichtseinheit soll der Oberflächeninhalt einer geraden, quadratischen Pyramide, von der die Grundseite und die Höhe bekannt sind, berechnet werden.
Beschreiben Sie einen möglichen Unterrichtsverlauf und begründen Sie wesentliche Schritte aus fachdidaktischer Sicht!
1. Erläutern Sie den Begriff "direkte Proportionalität"! Gehen Sie in diesem Zusammenhang auch auf den Umfang von Kreisen ein!
2. Diskutieren Sie zwei unterschiedliche Möglichkeiten zur näherungsweisen Bestimmung des Flächeninhalts eines Kreises!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zur Herleitung der Formel für den Umfang eines Kreises!
1. Erläutern Sie die Begriffe "Ergebnis", "Ereignis" und "Laplace-Experiment" im Zusammenhang von Zufallsexperimenten mit endlichen Ergebnismengen!
2. Diskutieren sie drei unterschiedliche Aufgabenstellungen im Kontext von Laplace- und Nicht-Laplace-Experimenten unter fachdidaktischen Gesichtspunkten!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum empirischen Gesetz der großen Zahlen!
1. Formulieren und beweisen Sie den Sinussatz!
2. Diskutieren Sie zwei unterschiedliche Wege, Sinus und Kosinus eines Winkels einzuführen!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der die folgende Aufgabe bearbeitet wird:
1. Erläutern Sie den Begriff gerader Kreiskegel und leiten Sie eine Formel für den Inhalt der Mantelfläche des geraden Kreiskegels her!
2. Stellen Sie auf zwei Wegen dar, wie aus der Formel für das Volumen der Pyramide die Formel für das Volumen des geraden Kreiskegels entwickelt werden kann!
Gehen Sie dabei auch auf die Vorkenntnisse der Schülerinnen und Schüler ein, auf die hier im Sinne eines kumulativen Lernens zurückgegriffen wird!3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit in der Jahrgangsstufe 9, in der das folgende Problem bearbeitet wird:
In der Skizze ist der Axialschnitt eines geraden Kreiskegels mit Radius 5 und Höhe 10 zu sehen, in den ein gerader Kreiszylinder mit Radius x und Volumen V(x) einbeschrieben ist.
Für welchen Radius ist das Volumen am größten?
1. Beschreiben Sie drei Probleme aus der Geometrie, in denen irrationale Längenverhältnisse auftreten!
2. Diskutieren Sie zwei verschiedene Möglichkeiten zur Bestimmung eines Näherungswertes für "Wurzel" 5!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der ein Rechteck durch Konstruktion mit Zirkel und Lineal in ein flächeninhaltsgleiches Quadreat verwandelt wird!
1. Erläutern Sie den Begriff "stochastische Unabhängigkeit"!
2. Erläutern Sie die Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten mit Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln!
3. In einer Unterrichtseinheit soll die erste Pfadregel (Multiplikationsregel) erarbeitet werden. Schildern Sie wesentliche unterrichtliche Schritte und erläutern Sie diese unter fachdidaktischen Gesichtspunkten!
1. Erläutern Sie eine Klassifikation von Viereckstypen nach Symmetrieeigenschaften! Definieren Sie die Begriffe "Achsensymmetrie", "Drehsymmetrie" und "Punktsymmetrie"
sowie die in der Klassifikation genannten Viereckstypen! Der Begriff "Viereck" muss nicht definiert werden!2. Beschreiben Sie drei verschiedene Wege, eine Flächeninhaltsformel für Trapeze im Mathematikunterricht herzuleiten!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der die Flächeninhaltsformel für symmetrische Drachenvierecke erarbeitet wird!
1. Erläutern Sie den Begriff "quadratische Funktion"! Gehen Sie dabei auch auf Zusammenhänge zwischen verschiedenen Darstellungsformen ein!
2. Beschreiben Sie Möglichkeiten, um den Zusammenhang zwischen Scheitelpunktform und dem Verlauf des Graphen einer quadratischen Funktion im Unterricht zu veranschaulichen!
Gehen Sie dabei auch auf den Einsatz dynamischer Mathematiksoftware ein!3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der die Scheitelpunktform aus der Darstellung f(x) = ax² + bx + c einer quadratischen Funktion hergeleitet wird!
1. Erläutern Sie den Begriff "Volumen eines Körpers" und damit verbundene Prinzipien des Volumenvergleichs!
2. Erläutern Sie unterrichtliche Ziele und Aktivitäten bei der Einführung des Volumenbegriffs!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zur Herleitung der Volumenformel für Quader!
1. Erläutern Sie die Begriffe "gewöhnlicher Bruch" und "Bruchzahl".
2. Beschreiben Sie unterrichtliche Möglichkeiten zum Größenvergleich von gewöhnlichen Brüchen.
3. Entwerfen Sie eine Unterrichtseinheit zur Einführung der Multiplikation von gewöhnlichen Brüchen.
1. Erläutern Sie den Begriff "lineare Funktion".
2. Erläutern Sie anhand einer geeigneten Aufgabe, wie im Bereich "lineare Funktionen" Modellierungskompetenz gefördert werden kann.
3. In einer Unterrichtseinheit in der Jahrgangsstufe 8 sollen Kriterien für die gegenseitige Lage der Graphen zweier linearer Funktionen im Koordinatensystem erarbeitet und begründet werden.
Skizzieren Sie einen möglichen Unterrichtsverlauf und begründen Sie wesentliche Schritte aus fachdidaktischer Sicht.1. Formulieren Sie den Höhensatz und seine Umkehrung. Beweisen Sie den Höhensatz.
2. Beschreiben Sie drei verschiedene unterrichtliche Aktivitäten zum Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck. Wählen Sie eine geeignete Aktivität aus und erklären Sie,
wie man von dieser Aktivität ausgehend den Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck beweisen kann.3. Entwerfen Sie eine Unterrichtseinheit, in der der Satz von Pythagoras enaktive erarbeitet und begründet wird.
1. Erläutern Sie die Begriffe "Kongruenz" und "Symmetrie" ebener Figuren.
2. Beschreiben Sie an zwei konkreten Beispielen, welchen Mehrwert dynamische Geometriesoftware bei der Behandlung der Punktspiegelung im Mathematikunterricht haben kann.
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema "Parallelverschiebung im Koordinatensystem".
1. Erläutern Sie das Lösen von linearen 2x2-Gleichungssystemen! Gehen Sie dabei auf Fragen der Lösbarkeit und die Bedeutung von Determinanten ein.
2. Geben Sie einen Überblick über verschiedene Visualisierungsmöglichkeiten für Gleichungen und bewerten Sie deren Vor- und Nachteile.
3. Konzipieren Sie eine Unterrichtseinheit, in der die Frage der Lösbarkeit eines linearen 2x2-Gleichungssystems geklärt wird.
1. Definieren Sie den Begriff "Potenz" für natürliche Exponenten n>0. Erläutern Sie die Erweiterung des Potenzbegriffs zu ganzzahligen Exponenten aus fachlicher Sicht.
2. Formulieren Sie zwei Lernaufgaben, die zum Aufbau des Begriffsverständnisses zur "Steigung linearer Funktionen" beitragen! Begründen Sie Ihre Auswahl aus fachdidaktischer Sicht.
3. Im Unterricht sollen Eyponentialfunktionen anhand von Wachstumsprozessen eingeführt werden. Entwickeln Sie dazu eine Unterrichtseinheit, in der insbesondere Abgrenzung zum linearen Wachstum deutlich wird.
1. Erläutern Sie unterschiedliche Möglichkeiten, die Formel für das Volumen von geraden und schiefen Kreiszylindern herzuleiten!
2. Erläutern Sie an konkreten Beispielen Möglichkeiten, wie im Mathematikunterricht der Realschule das räumliche Vorstellungsvermögen gefördert werden kann!
3. Entwerfen Sie eine Unterrichtseinheit zur Herleitung einer Formel für den Oberflächeninhalt eines geraden Kreiszylinders!
1. Erläutern Sie, wie man Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umwandeln kann!
2. Beschreiben Sie Modelle zur Darstellung gewöhnlicher Brüche und diskutieren Sie Vor- und Nachteile!
3. Erläutern Sie zwei verschiedene Wege, die Division von gewöhnlichen Brüchen (Bruch durch Bruch) als Operation einzuführen!
Gehen Sie darauf ein, wie bei dem jeweiligen Vorgehen verständlich wird, dass der Quotient größer als der Dividen sein kann!
1. Erläutern Sie zwei verschiedene Möglichkeiten zur Definition des Sinus eines Winkels auf dem Niveau der Sekundarstufe I!
2. Beschreiben Sie unterrichtliche Aktivitäten zur Sinusfunktion!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der typische Eigenschaften der Sinusfunktion erarbeitet werden!
1. Formulieren und beweisen Sie den Satz von Thales und den Satz von Pythagoras!
2. Beschreiben Sie zwei verschiedene Wege zur Herleitung der Flächeninhaltsformel für Dreiecke im Unterricht und diskutieren Sie diese unter fachdidaktischen Gesichtspunkten!
3. In einer Unterrichtseinheit soll eine Formel für die Länge der Raumdiagonalen in Quadern erarbeitet werden. Schildern Sie wesentliche unterrichtliche Schritte und erläutern Sie diese unter fachdidaktischen Gesichtspunkten!
1. Leiten Sie die Volumenformel für die Kugel auf der Grundlage geeigneter Vergleichskörper her! Gehen Sie dabei auch auf den Satz des Cavalieri ein!
2. Erläutern Sie unterrichtliche Aufgabenstellungen zum Thema "Volumen von Prismen" und geben Sie jeweils die ziele an, die Sie mit Ihrer Aufgabenstellung verfolgen! Denken Sie gegebenenfalls an differenzierende Maßnahmen!
3. Skizzieren Sie eine Unterrichtssequenz zum Thema "Volumen der Kugel"!
1. Erläutern Sie die Erweiterungen der Potenzdefinition und der Potenzgesetze von ganzzahligen zu rationalen Exponenten aus fachlicher Sicht!
2. Beschreiben Sie unterrichtliche Methoden zur näherungsweisen Lösung der Gleichung x³ = 2!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zur Einführung von Exponentialfunktionen!
1. Erläutern Sie die Begriffe "Term", "Funktion" und "Gleichung"!
2. Diskutieren Sie anhand geeigneter Beispiele und unterschiedlicher Repräsentationsebenen Möglichkeiten, Lösungsverfahren für lineare Gleichungen im Unterricht zu erarbeiten!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zu der abgebildeten Aufgabe! Stellen Sie dabei die Förderung des Argumentierens und Darstellens in den Mittelpunkt!
1. Stellen Sie die Gleichung einer allgemeinen quadratischen Funktion auf verschiedene Arten dar! Erläutern Sie dabei die Bedeutung der verwendeten Parameter und zeigen Sie anhand von Beispielen, wie man die verschiedenen Darstellungen ineinander überführen kann!
2. Diskutieren Sie nährerungsweise und exakte Verfahren zum Lösen einer quadratischen Gleichung im Mathematikunterricht der Realschule!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zur Einführung quadratischer Funktionen!
1. Erläutern Sie den Begriff „Winkelhalbierende“!
2. Erläutern Sie anhand zweier Beispiele, wie Symmetriebetrachtungen im Unterricht genutzt werden können, um Eigenschaften von ebenen Figuren zu erschließen!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema "Inkreis eines Dreiecks"!
1. Erläutern Sie den Begriff „lineares Gleichungssystem“ (mit n Gleichungen und m Variablen) aus mathematischer Sicht!
2. Beschreiben Sie drei verschiedene Verfahren, mit denen im Mathematikunterricht der Realschule Systeme aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten algebraisch gelöst werden können.
Geben Sie dabei – begründet – jeweils ein Gleichungssystem an, bei dem sich das betreffende Verfahren zur Lösung besonders anbietet!3. In einer Unterrichtseinheit soll die flexible Nutzung von Verfahren zur algebraischen Lösung eines Systems aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten gefördert werden.
Schildern Sie wesentliche unterrichtliche Schritte und begründen Sie diese unter fachdidaktischen Gesichtspunkten!1. Erläutern Sie die Begriffe „Kongruenz“, „Zerlegungsgleichheit“ und „Ergänzungsgleichheit“ für ebene Figuren!
2. a) Beschreiben Sie drei Wege zur Herleitung der Flächeninhaltsformel für Trapeze!
b) Beschreiben Sie, wie man die Flächeninhaltsformel für Trapeze für funktionelle Betrachtungen nutzen kann!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema „Oberflächeninhalt eines Kegels“!
1. Erläutern Sie die Begriffe „Gleichung“ und „Äquivalenzumformung von Gleichungen“!
2. Erläutern Sie verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zur Herleitung der Lösungsformel für quadratische Gleichungen!
1. Erläutern Sie die Begriffe direkte und indirekte Proportionalität!
2. Erläutern Sie zwei Fragestellungen aus der Geometrie, bei denen die direkte Proportionalität eine wichtige Rolle spielt!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der allgemeine lineare Funktionen eingeführt werden!
1. Erläutern Sie die Begriffe "Ähnlichkeitsabbildung" und "Ähnlichkeit"!
2. Beschreiben Sie zwei unterschiedliche Möglichkeiten, mit Hilfe von Ähnlichkeitsüberlegungen Vermessungsprobleme zu lösen!
3. In einer Unterrichtseinheit soll der Satz über den Schwerpunkt eines Dreieckes erarbeitet werden. Formulieren Sie eine Sachanalyse und erläutern Sie wesentliche unterrichtliche Schritte unter fachdidaktischen Gesichtspunkten!
1. Erläutern Sie die Begriffe "Laplace-Wahrscheinlichkeit", "frequentistische Wahrscheinlichkeit" und "axiomatische Wahrscheinlichkeit"!
2. Beschreiben Sie Lernziele und zugehörige unterrichtliche Aktivitäten zur Laplace-Wahrscheinlichkeit!
3. In einer Unterrichtseinheit soll das empirische Gesetz der großen Zahlen behandelt werden. Beschreiben Sie wesentliche unterrichtliche Schritte und begründen Sie diese unter fachdidaktischen Gesichtspunkten!
1. Rationale Zahlen können als gewöhnliche Brüche oder als Dezimalbrüche angegeben werden. Erläutern Sie, welche Beziehungen zwischen diesen Darstellungsarten bestehen!
2. Erläutern Sie verschiedene Wege, wie im Mathematikunterricht Verständnis für die Regel zur Division zweier Brüche entwickelt werden kann!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zur Einführung des Prozentbegriffs!
1. Das Erfassen, Darstellen und Interpretieren von Daten unter Verwendung von statistischen Kenngrößen stellt einen Schwerpunkt im Themenbereich "Daten und Zufall" der Realschule dar. Erläutern Sie Streu- und Lagemaße, die in diesem Zusammenhang behandelt werden können!!
2. Erläutern Sie Lernziele zum Themenbereich "Erstellen von Diagrammen und Arbeiten mit Diagrammen"!
3. Entwerfen Sie eine Unterrichtssequenz, in der eine Umfrage zum Thema "Das Medienkonsumverhalten der Schülerinnen und Schüler unserer Schule" geplant, durchgeführt, ausgewertet und präsentiert wird! Begründen Sie Ihr Konzept aus didaktischer Sicht!
1. Beschreiben Sie ein mathematisches Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung der Kreiszahl π!
2. Beschreiben Sie an Beispielen, wie die Gebiete "Dreiecke" und "Kreise" im Mathematikunterricht vernetzt werden!
3. Skizzieren Sie eine Unterrichtseinheit, bei der Schülerinnen und Schüler eine Formel für den Flächeninhalt von Kreissektoren erarbeiten!
1. Erläutern Sie das Themenfeld "Umkreis von Dreiecken und Vierecken" unter mathematischen Gesichtspunkten!
2. Diskutieren Sie die Verwendung von Software für dynamische Geometrie an Beispielen aus der Dreiecksgeometrie aus fachdidaktischer Sicht!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema "Umkreis von Dreiecken"!
1. Definieren Sie die für den Unterricht in der Realschule relevanten Vierecktypen und erläutern Sie eine Klassifikation nach Symmetrieeigenschaften!
2. Beschreiben Sie verschiedene unterrichtliche Aktivitäten zum Symmetriebegriff in der Realschule!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema "Punktsymmetrie"!
1. Erläutern Sie die Begriffe "direkte Proportionalität" und "indirekte Proportionalität"!
2. Beschreiben Sie die Entwicklung des Themenstrangs "Funktion" in der Realschule aus fachdidaktischer Sicht!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema "Umfang eines Kreises" unter dem Aspekt der direkten Proportionalität!
1. Beweisen Sie den Satz des Pythagoras und den Höhensatz auf jeweils zwei unterschiedliche Arten!
2. Erläutern Sie den Begriff "kumulatives Lernen" am Beispiel des Themenkreises "Dreieck"!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Kongruenzsatz "SsW"!
1. Erläutern Sie die Begriffe "Variable", "Term" und "Äquivalenz von Termen"!
2. Beschreiben Sie inner- und außermathematische Kontexte, die zur Erarbeitung des Termbegriffs geeignet sind!
3. In einer Unterrichtseinheit soll der Termbegriff eingeführt werden. Beschreiben und begründen Sie wesentliche unterrichtliche Schritte unter fachdidaktischen Gesichtspunkten!
1. Beweisen Sie den Kosinussatz ohne Verwendung des Skalarprodukts! Gehen Sie dabei auch auf stumpfwinklige Dreiecke ein!
2. Diskutieren Sie zwei verschiedene Einführungsmöglichkeiten für die Begriffe "Sinus" und "Kosinus" im Mathematikunterricht!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema "Kosinussatz"!
1. Erläutern Sie die Zahlbereichserweiterung von
zu
aus mathematischer Sicht!
2. Diskutieren Sie unterschiedliche Möglichkeiten, negative Zahlen im Unterricht einzuführen!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema "Addition und Subtraktion ganzer Zahlen"!
1. Leiten Sie die Formeln für das Volumen und die Oberfläche von Kugeln her!
2. Erläutern Sie den mathematikdidaktischen Begriff "Modellieren"!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema "Kugel", in der die Kompetenz des Modellierens in besonderem Maße gefördert wird!
1. Erläutern Sie die Begriffe "Kongruenz" und "Symmetrie" in der Ebene!
2. Erläutern Sie verschiedene unterrichtliche Aktivitäten zur Achsenspiegelung! Gehen Sie hierbei auch auf den Einsatz des Computers ein!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der Vierecke unter dem Aspekt der Symmetrie klassifiziert werden!
1. Leiten Sie die Volumenformel für beliebige Pyramiden her!
2. Erläutern Sie Aufgaben für den Mathematikunterricht, in denen Volumenformeln im Hinblick auf funktionale Zusammenhänge betrachtet werden!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zur Erarbeitung der Volumenformel für Quader und Würfel!
1. Beschreiben und begründen Sie Strategien der Multiplikation und Division zweier rationaler Zahlen in Dezimalbruchdarstellung. Berücksichtigen Sie auch periodische Dezimalbrüche!
2. Beschreiben Sie mit Hilfe von Beispielen typische Fehler beim Umgang mit Dezimalbrüchen!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema "
"!
1. Definieren Sie die für den Unterricht in der Realschule relevanten Viereckstypen und erläutern Sie eine Klassifikation nach Symmetrieeigenschaften!
2. Erläutern Sie das "Prinzip des Messens" am Beispiel des Flächeninhalts!
3. In einer Unterrichtseinheit soll die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms erarbeitet werden. Beschreiben und begründen Sie wesentliche unterrichtliche Schritte unter fachdidaktischen Gesichtspunkten!
1. a) Positive rationale Zahlen kann man durch gewöhnliche Brüche und Dezimalbrüche darstellen. Erläutern Sie, zu welchen gewöhnlichen Brüchen endliche Dezimalbrüche, zu welchen reinperiodischen Dezimalbrüche und zu welchen gemischtperiodische Dezimalbrüche gehören!
b) Erläutern Sie, wie man rein-periodische und gemischtperiodische Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umwandeln kann!
2. Beschreiben Sie typische Schwierigkeiten und Fehler von Schülerinnen und Schülern beim Rechnen mit Dezimalbrüchen und nennen Sie Gegenmaßnahmen!
3. Beschreiben und begründen Sie am Beispiel 13,8 : 4, wie Sie Verständnis für das Verfahren der schriftlichen Division im Bereich von Dezimalbrüchen fördern können. Gehen Sie dabei insbesondere auf die Bedeutung der Stellenwerte ein!
1. Erläutern Sie die Begriffe "Achsenspiegelung" und "Achsensymmetrie"!
2. Beschreiben Sie an zwei Beispielen, wie im Unterricht die Achsensymmetrie zur Erschließung von Figureigenschaften verwendet werden kann!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema "Winkelhalbierende"!
1. Formulieren und beweisen Sie die Sätze der Satzgruppe des Pythagoras!
2. Diskutieren Sie unterrichtliche Zugänge zur Einführung des Satzes des Pythagoras. Zeigen Sie insbesondere, dass das sog. "Zwölfknotenseil" (siehe Abbildung) dabei kritisch zu sehen ist!
3. Entwerfen Sie eine Unterrichtseinheit, in der eine innermathematische Anwendung des Satzes des Pythagoras thematisiert wird!
1. Erläutern Sie, wie man den Bereich N der natürlichen Zahlen zum Bereich Z der ganzen Zahlen mit Hilfe von Äquivalenzklassen erweitert. Führen Sie grundlegende Eigenschaften des Zahlenbereichs Z an!
2. Beschreiben Sie die Verwendung des Zahlenstrahls bzw. der Zahlengeraden bei der Behandlung der Zahlbereiche N, Z, und R !
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema "Addition ganzer Zahlen"!
1. Erläutern Sie einen Zusammenhang zwischen dem Thema "Achsensymmetrie" und dem Thema "Umkreis von Dreiecken und Vierecken"!
2. Diskutieren Sie je eine Einstiegsaufgabe zum Thema "Inkreis" und zum Thema "Umkreis" von Dreiecken unter didaktischen Gesichtspunkten!
3. Skizzieren Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema "Umkreis", in der der didaktische Nutzen von dynamischer Geometriesoftware deutlich wird!
1. Erläutern Sie die Begriffe "Exponentialfunktion" und "Logarithmusfunktion"!
2. Diskutieren Sie die Bedeutung von Exponential- und Logarithmusfunktion für den Mathematikunterricht der Realschule!
3. Beschreiben Sie eine Modellierungsproblem und seine unterrichtliche Behandlung, bei dem lineares Wachstum und exponentielles Wachstum kontrastiert werden!
1. a) Erläutern Sie den Begriff "Winkel" in der ebenen Geometrie!
b) Ein Parallelenpaar wird von einer weiteren Geraden geschnitten. Beschreiben Sie die Zusammenhänge zwischen den auftretenden Winkeln!
2. Beschreiben Sie unterrichtliche Aktivitäten, die zur Begründung des Satzes über die Innenwinkelsumme im Dreieck führen!
3. In einer Unterrichtsstunde soll der Satz über die Innenwinkelsumme in beliebigen n-Ecken entwickelt werden. Beschreiben Sie wesentliche Schritte unter didaktischen Gesichtspunkten!
1. Erklären Sie den Begriff "geometrischer Ort" und geben Sie Beispiele für Ortslinien!
2. Erläutern Sie unterrichtliche Aktivitäten zum Thema Ortslinien!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema "Umkreis eines Dreiecks"!
1. Vergleichen Sie die Bedeutung der Parabelgleichung in der Form
Erläutern Sie dazu die Bedeutung der Parameter und zeigen Sie Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Darstellungen auf!
2. a) Zeigen Sie Möglichkeiten auf, die binomischen Formeln in der Realschule herzuleiten! Diskutieren Sie dabei auch die Verwendung geometrischer Veranschaulichungen!
b) Erläutern Sie die Rolle der binomischen Formeln bei der Herleitung der Lösungsformel für quadratische Gleichungen!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der verschiedene Verfahren zum Lösen einer quadratischen Gleichung verglichen werden!
2011/II,1
1. Gegeben sind zwei zueinander kongruente Dreiecke. Erläutern Sie, wie Sie die zugehörige Kongruenzabbildung im Allgemeinen bestimmen können!
2. Diskutieren Sie einen Weg zur Erarbeitung der Kongruenzsätze für Dreiecke im Mathematikunterricht!
3. Erläutern Sie unter didaktischen Gesichtspunkten unterrichtliche Aktivitäten, bei denen die Verkettung von Achsenspiegelungen eine Rolle spielt!2011/II,2
1. Erläutern Sie den Begriff „quadratische Funktion"!
2. Beschreiben Sie verschiedene Möglichkeiten zur Lösung quadratischer Gleichungen! Gehen Sie dabei auch auf Näherungsverfahren ein!
3. In einer Unterrichtsstunde soll die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion erarbeitet werden. Beschreiben Sie den Verlauf des Unterrichts! Begründen Sie dabei wesentliche Schritte unter didaktischen Gesichtspunkten!
2011/II,3
1. Beschreiben Sie, wie die Vierstreckensätze hergeleitet werden können!
2. Geben Sie einen Überblick über Inhalte und Aufbau der Ähnlichkeitslehre in der Realschule!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema „Anwendungen von Vierstreckensätzen"!
1.Definieren Sie die Begriffe Kreis, Kreissektor, Kreissegment, Tangente, Sekante und Sehne!
2.Beschreiben Sie unterrichtliche Zugänge zur Bestimmung von Umfang und Flächeninhalt eines Kreises!
3.Entwerfen Sie eine Unterrichtsstunde für die siebte Jahrgangsstufe, in der die Formel für den Umfang eines Kreises im Hinblick auf ein Verständnis für den proportionalen Zusammenhang erarbeitet wird!
1. a) Diskutieren Sie die Begriffe Quadratzahl, Quadratwurzel, irrationale Zahl!
b) Geben Sie Beispiele für inner-und außermathematische Situationen, in denen Quadratwurzeln eine Rolle spielen.2. Erläutern Sie typische Schwierigkeiten bzw. Fehler im Umgang mit Quadratwurzeln und beschreiben Sie Maßnahmen zu ihrer Vermeidung bzw. Behebung!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit , in der
näherungsweise berechnet wird!
1. a) Erläutern Sie anhand folgender Aufgabe den Modellierungskreislauf und berücksichtigen Sie dabei die Aspekte Mathematisieren, Interpretieren, Validieren!
Wie viel Luft passt in diesen Heißluftballon?
2. Beschreiben Sie Ziele und Probleme bei der Behandlung von Modellierungsaufgaben im Mathematikunterricht!
3. Skizzieren Sie eine Unterrichtseinheit, in der eine Modellierungsaufgabe bearbeitet wird!
1. a) Erläutern Sie den Begriff Kongruenzabbildung!
b) Diskutieren Sie die Verkettung zweier Achsenspiegelungen!2. Diskutieren Sie unterrichtliche Möglichkeiten zur Einführung der Drehung!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema "drehsymmetrische Figuren"!
1. Erläutern Sie das Thema "Parabeln" unter mathematischen Gesichtspunkten!
2. a) Diskutieren Sie ein Beispiel für eine Extremwertaufgabe im Mathematikunterricht der Realschule!
b) Erörtern Sie Gründe für die Bearbeitung von Extremwertaufgaben in der Realschule!3. Stellen Sie den Aufbau und den Inhalt einer Unterrichtseinheit dar, in der eine Extremwertaufgabe bearbeitet wird!
1. a) Erläutern Sie die Begriffe absolute Häufigkeit und relative Häufigkeit im Rahmen einfacher Zufallsexperimente!
b) Nennen Sie grafische Darstellungsarten von Häufigkeiten und geben Sie jeweils ein Beispiel!2. Erläutern Sie Gründe für das Arbeiten mit relativen Häufigkeiten im Mathematikunterricht!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema "Relative Häufigkeiten"!
1. Erläutern Sie zwei verschiedene Möglichkeiten zur Definition des Sinus bzw. Kosinus eines Winkels! Diskutieren Sie Vor- und Nachteile dieser Definition!
2. Geben Sie einen Überblick über die Behandlung des Themenbereichs "Sinus" im Unterricht! Geben Sie zur Illustration Aufgabenbeispiele an!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zur Kosinusfunktion!
1. Erläutern Sie mathematische Ideen zur Herleitung der Volumenformeln für Prismen und Pyramiden!
2. Beschreiben Sie, in welchen Schritten die Volumenberechnung über alle Jahrgangsstufen der Realschule behandelt wird!
3. Entwerfen Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema "Cavalierisches Prinzip"!
1. Geben Sie wesentliche Schülerschwierigkeiten beim Übergang von den natürlichen Zahlen zu den Bruchzahlen an und erläutern Sie diese an Beispielen!
2. Diskutieren Sie verschiedene Möglichkeiten zum Größenvergleich von Brüchen!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der Verständnis für die Division eines Bruchs durch einen Bruch erarbeitet wird!
1. Erläutern Sie, wie man im Mathematikunterricht mit Hilfe von Verschiebungen Vektoren einführen und ihre Rechengesetze begründen kann.
2. Diskutieren Sie die Verwendung von Vektoren im Mathematikunterricht der Realschule.
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zur Einführung des Skalarprodukts zweier Vektoren.
1. a) Definieren Sie die Begriffe Ähnlichkeitsabbildung und Ähnlichkeit von Figuren in der Ebene.
b) Nennen Sie Kriterien zum Nachweis der Ähnlichkeit zweier ebener Dreiecke und beweisen Sie eines dieser Kriterien.
2. Erläutern Sie Anwendungen der Vierstreckensätze (d.h. Strahlensätze) im Mathematikunterricht der Realschule.
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der ein Lehrsatz zum Nachweis der Ähnlichkeit zweier Dreiecke bewiesen wird.
1. Bearbeiten und diskutieren Sie die folgenden Aufgaben unter mathematischen Gesichtspunkten:
a) Welches Rechteck hat unter allen Rechtecken mit gleichem Umfang den größten Flächeninhalt?
b) Welches Rechteck hat unter allen Rechtecken mit gleichem Flächeninhalt den kleinsten Umfang?2. Erörtern Sie Gründe, die für eine Bearbeitung der oben genannten Aufgaben im Mathematikunterricht der Realschule sprechen.
3. Entwickeln Sei eine Unterrichtseinheit, in der eine der beiden Aufgaben aus 1 bearbeitet wird.
1. Ein Punkt T teilt eine Strecke [AB] im Goldenen Schnitt genau dann, wenn die große Teilstrecke zur ganzen Strecke im gleichen Verhältnis wie die kleine Teilstrecke zur großen steht.
a) Berechnen Sie das zugehörige Teilverhältnis.
b) Zeigen Sie, dass in einem regulären Fünfeck der Punkt T die Strecke [AB] im Goldenen Schnitt teilt (Hinweis: Verwenden Sie ähnliche Dreiecke!).
2. Erläutern Sie unterrichtliche Situationen, in denen Streckenverhältnisse eine Rolle spielen.
3. George Polya untergliedert einen Problemlöseprozess in folgende Schritte:
(1) Verstehen der Aufgabe
(2) Ausdenken eines Planes
(3) Ausführen des Planes
(4) Rückschau
Skizzieren Sie eine Unterrichtseinheit, in der mit der Figur aus Aufgabe 1 im Sinne eines solchen Problemlöseprozesses gearbeitet wird.
1. Erläutern Sie die Begriffe Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion.
2. Beschreiben Sie unterrichtliche Methoden zur Behandlung der Gleichung 2x = x+2.
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema Wachstumsvorgänge.
1. Erläutern und vergleichen Sie, wie Wurzelgleichungen der Art
grafisch und algebraisch gelöst werden können (Beispiel:
). Gehen Sie dabei insbesondere auch auf Vor- und Nachteile der beiden Verfahren ein.
2. Erläutern Sie exakte und probierende Methoden des Gleichungslösens in der Realschule.
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der Wurzelgleichungen mit Hilfe eines Grafiktaschenrechners gelöst werden.
1. Erläutern Sie die Eigenschaftsbegriffe "rational", "irrational", "algebraisch" und "transzendent" für reelle Zahlen. Geben Sie dazu aussagekräftige Beispiele an und stellen Sie Zusammenhänge zwischen diesen Begriffen dar.
2. a) Geben Sie Begründungen für fächerübergreifendes Arbeiten im Mathematikunterricht.
2. b) Stellen Sie an unterschiedlichen Beispielen dar, wie beim Thema "Kreis" fächerübergreifende Bezüge im Mathematikunterricht hergestellt werden können.
3. Skizzieren Sie eine Unterrichtssequenz, bei der Schülerinnen und Schüler die Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt von Kreisen erarbeiten. Führen Sie dabei einen Unterrichtsabschnitt genauer aus, bei dem eigenverantwortliches Arbeiten der Schülerinnen und Schüler in besonderem Maße gefordert ist.
1. Erläutern Sie, wie man den Bereich N der natürlichen Zahlen zum Bereich Z der ganzen Zahlen erweitert. Geben Sie die grundlegenden Eigenschaften des Zahlenbereichs Z an.
2. Beschreiben Sie Konzepte im Mathematikunterricht der Realschule, negative Zahlen einzuführen.
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema Multiplikation zweier negativer Zahlen.
1. Formulieren und beweisen Sie die drei Sätze der Satzgruppe des Pythagoras (Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck). Wählen Sie dabei unterschiedliche Beweismethoden (z. B. auf der Basis von Zerlegungsgleichheit, Ergänzungsgleichheit, Ähnlichkeit).
2. Erläutern Sie Lernvoraussetzungen für die Behandlung der Satzgruppe des Pythagoras im Unterricht der Realschule.
3. Entwerfen Sie eine Unterrichtseinheit, in der die Länge der Raumdiagonale in einem Quader bestimmt wird.
1. Erläutern Sie die Begriffe ggT und kgV zweier natürlicher Zahlen!
2. Erläutern Sie den Begriff mathematisch Argumentieren (im Sinne der neuen Bildungsstandards) bei der Erarbeitung der Flächeninhaltsformel für das Trapez!
3. Formulieren und begründen Sie Lernziele zu einer Unterrichtseinheit, in der Brüche verglichen werden!
1. Beschreiben Sie Zusammenhänge zwischen linearen Gleichungen und linearen Funktionen! Gehen Sie dabei auch auf lineare Gleichungssysteme ein!
2. Erläutern Sie anhand von Beispielen Methoden für das Lösen linearer Gleichungen in den Klassenstufen 5 bis 8!
3. Entwerfen Sie eine Unterrichtseinheit, in der eine realitätsnahe Situation mit Hilfe linearer Funktionen behandelt wird!
1. Geben Sie einen Überblick über verschiedene Arten von Dezimalbrüchen und erläutern Sie deren Beziehung zu gewöhnlichen Brüchen!
2. Diskutieren Sie Vor- und Nachteile des Verwendens gemischter Brüche im Unterricht!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zur Einführung unendlicher periodischer Dezimalbrüche!
1. a) Beschreiben Sie zwei geometrische Problemstellungen, die zu irrationalen Zahlen hinführen!
b) Erläutern Sie eine schülergerechte Begründung für die Irrationalität von
.
2. Erläutern Sie ein Verfahren zur Bestimmung der Dezimalstellen von
und diskutieren Sie dieses unter didaktischen Gesichtspunkten!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema DIN A-Format und irrationale Zahlen !
Erläuterungen zum DIN A-Format:
• Von einem DIN A-Format gelangt man durch Halbieren der längeren Seite zum nächstkleineren Format.
• Alle Formate sind zueinander ähnlich.
• DIN A0 misst 1m2.1. Erläutern Sie Umformungen algebraischer Terme!
2. Beschreiben Sie unterrichtliche Aktivitäten zu quadratischen Funktionen unter Einsatz von neuen Medien (z. B. graphikfähige Taschenrechner, Tabellenkalkulationsprogramme, Computeralgebrasysteme)!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der verschiedene Verfahren zum Lösen einer quadratischen Gleichung verglichen und dabei auch Näherungsverfahren berücksichtigt werden!
1. Geben Sie je einen schülergerechten Beweis für den Umfangswinkelsatz und seine Umkehrung!
2. Beschreiben Sie Unterrichtsinhalte der Realschule, in denen Ortslinien verwendet werden!
3. Entwerfen Sie eine Unterrichtseinheit, in der ein Beweis des Satzes von Thales erarbeitet wird!
1. Erläutern Sie im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen die Begriffe allgemeine Form der Funktionsgleichung, "Scheitelpunktform" und "Umkehrfunktion".
2. Erläutern Sie Problemstellungen im Mathematikunterricht der Realschule, bei denen quadratische Funktionen eine Rolle spielen.
3.
Das Bild zeigt eine ICE-Brücke. Die untere Spannweite des parabelförmig angenommenen Bogens in Wasserhöhe ist 100 m. Die maximale Höhe der Unterkante des Bogens über der Wasseroberfläche beträgt 20.m. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in deren Mittelpunkt das Anfertigen einer maßstabsgetreuen Zeichnung der Brücke steht.
1. Erläutern Sie wichtige Eigenschaften des Begriffs Flächeninhalt eines ebenen Vielecks.
2. Geben Sie einen Überblick über die Behandlung von Flächeninhalten ebener Figuren in der Realschule.
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema Flächeninhalt eines Dreiecks.
1. Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen der Menge aller Verschiebungspfeile in der Ebene und dem Begriff Vektorraum.
2. Erläutern Sie Möglichkeiten zur Einführung des Skalarprodukts in der Realschule.
3. Entwerfen Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema Abstand eines Punktes von einer Geraden.
1.Erläutern Sie besondere Linien im Dreieck und ihre Eigenschaften.
2. Beschreiben Sie am Beispiel besonderer Linien im Dreieck Schüleraktivitäten beim Einsatz dynamischer Geometriesoftware im Geometrieunterricht der Realschule.
3. Skizzieren Sie eine Unterrichtseinheit, in der mit Hilfe dynamischer Geometriesoftware Ortslinien untersucht werden.
1. Erläutern Sie die Beziehung zwischen gewöhnlichen Brüchen und Dezimalbrüchen.
2. Beschreiben und diskutieren Sie das Größenkonzept und das Operatorkonzept zur Einführung gewöhnlicher Brüche.
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Größenvergleich gewöhnlicher Brüche.
1. Erläutern Sie den Begriff lineare Funktion.
2. Erläutern Sie Sachsituationen, die im Mathematikunterricht der Realschule auf Systeme von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten führen.
3. Skizzieren Sie eine Unterrichtssequenz zur Behandlung von Systemen aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten.
1 Erläutern Sie verschiedene Aspekte des Winkelbegriffs.
2.Beschreiben Sie verschiedene Begründungsmöglichkeiten für den Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck.
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zur Innenwinkelsumme konvexer Vielecke.
1.a) Erläutern Sie den Begriff Kongruenzabbildung.
b) Diskutieren Sie die Verkettung zweier Achsenspiegelungen.2.Beschreiben Sie Schüleraktivitäten zur Erarbeitung der verschiedenen Kongruenzabbildungen in der Realschule.
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zur Einführung der Parallelverschiebung.
2005/II,3
1. Beschreiben Sie Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von.
2. Diskutieren Sie Gründe für die Behandlung von irrationalen Zahlen und zeigen Sie damit zusammenhängende Probleme auf.
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zur Einführung irrationaler Zahlen.
1. a) Definieren Sie die Begriffe: Teiler einer natürlichen Zahl, größter gemeinsamer Teiler zweier natürlicher Zahlen, Teilerfremdheit zweier natürlicher Zahlen!
b) Erläutern Sie Teilbarkeitsregeln im Dezimalsystem.
2. Erläutern Sie typische Aufgabenstellungen zum Thema Teilbarkeit natürlicher Zahlen in der 5. Jahrgangsstufe.
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zur Einführung des Begriffs größter gemeinsamer Teiler zweier natürlicher Zahlen!
1. Erläutern Sie die Begriffe Variable, Term, Aussage, Aussageform, Gleichung, Grundmenge und Lösungsmenge.
2. Beschreiben Sie anhand von Beispielen Schwierigkeiten bzw. Fehler, die beim Lösen von Gleichungen vorkommen. Zeigen Sie Möglichkeiten auf, diesen entgegenzuwirken.
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema Äquivalenzumformung von Gleichungen.
1. Erläutern Sie die Begriffe kongruent, zerlegungsgleich, ergänzungsgleich und flächeninhaltsgleich für ebene Vielecke und zeigen Sie Beziehungen zwischen diesen Begriffen auf.
2. Geben Sie einen Überblick über den Aufbau der Flächeninhaltslehre im Geometrieunterricht der Realschule.
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zur Einführung der Flächeninhaltsformel für Rechtecke.
1. Formulieren und beweisen Sie den Sinus- und den Kosinussatz.
2. Erläutern Sie Möglichkeiten für die unterrichtliche Behandlung von Eigenschaften der Sinus-Funktion.
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der Anwendungen des Sinus- und des Kosinussatzes behandelt werden.
1. Beschreiben Sie verschiedene Verfahren zum Lösen einer quadratischen Gleichung.
2. Erläutern Sie wesentliche Stufen beim Aufbau des Funktionsbegriffs in der Realschule.
3. Entwerfen Sie eine Unterrichtseinheit, in der erarbeitet wird, wie man ausgehend von der allgemeinen Form der quadratischen Funktionsgleichung zur Scheitelpunktform und damit zu den Koordinaten des Scheitelpunkts gelangt.
1. Erklären Sie den Begriff geometrischer Ort und erläutern Sie ihn anhand von unterschiedlichen Beispielen aus der Mathematik und aus der Umwelt.
2. a) Formulieren und begründen Sie die Sätze vom Umkreis und Inkreis eines Dreiecks.
b) Erörtern Sie Möglichkeiten der unterrichtlichen Behandlung dieser Sätze. Gehen Sie dabei auch auf den Einsatz des Computers ein.
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der eine Aufgabe folgender Art behandelt wird:
In eine dreieckige Holzplatte soll ein kreisförmiges Loch geschnitten werden, das von jeder Seite den Mindestabstand d hat.
2004/I,1
1. Beschreiben Sie die Zahlbereichserweiterung von N auf Q+ mit Hilfe von Paaren natürlicher Zahlen. Gehen Sie insbesondere auf die Definition der Addition und der Multiplikation in Q+ ein.2. Erläutern Sie verschiedene Konzepte zur Einführung der gewöhnlichen Brüche im Unterricht.
3. Entwerfen Sie eine Unterrichtssequenz zur Multiplikation von gewöhnlichen Brüchen.
2004/I,2
1. Für Polynomgleichungen dritten Grades wird in der Realschule kein Lösungsalgorithmus entwickelt. Erläutern Sie, wie man Gleichungen dritten Grades numerisch und graphisch lösen kann.2. Erläutern und diskutieren Sie verschiedene Methoden zur Lösung von linearen Gleichungen im Unterricht der Realschule.
3. Aus einem rechteckigen Bogen Pappkarton mit der Länge L = 30 cm und der Breite B = 18 cm soll eine oben offene Schachtel gebastelt werden, in dem an den Ecken Quadrate abgeschnitten bzw. eingeklappt werden (siehe Skizze). Es soll x so bestimmt werden, dass die Schachtel maximales Volumen hat.
Skizzieren Sie eine Unterrichtseinheit, in deren Mittelpunkt die Lösung dieser Aufgabe steht.
2004/I,3
1. Erläutern Sie den Begriff Kreis. Geben Sie einen Überblick über Unterrichtsinhalte, die mit der Behandlung von Kreisen oder Kreisteilen zusammenhängen.2. Erläutern Sie handlungsorientierte und computergestützte Aktivitäten zur unterrichtlichen Behandlung des Umfangs und des Flächeninhalts des Kreises.
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zur Einführung des Flächeninhalts des Kreises.
1. Begründen Sie die Vorzeichenregeln für Addition und Multiplikation ganzer Zahlen!
2. a) Formulieren Sie Lernziele bei der Erweiterung des Zahlbereichs von N0 nach Z!
b) Diskutieren Sie unterrichtliche Probleme bei der Unterscheidung von Vor- und Rechenzeichen!3. Entwerfen Sie eine Unterrichtseinheit zur Einführung der Multiplikation zweier negativer Zahlen!
1. Erläutern und begründen Sie die Umwandlung gewöhnlicher Brüche in Dezimalbrüche und umgekehrt (Fallunterscheidungen!).
2. Erörtern Sie Möglichkeiten für die Gewinnung der Regel für die Division gewöhnlicher Brüche!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, die sich zum Ziel setzt, Fehler bei der Division gewöhnlicher Brüche abzubauen!
1. Geben Sie verschiedene Beweise für den Satz des Pythagoras an (unterschiedliche Beweisideen!).
2. Beschreiben Sie, wie man bei der unterrichtlichen Behandlung der Satzgruppe des Pythagoras Beziehungen zwischen Algebra und Geometrie aufzeigen kann!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der behandelt wird, wie man mit Zirkel und Lineal ein Rechteck in ein inhaltsgleiches Quadrat umwandelt!
1. Erläutern Sie die Begriffe Funktion, Umkehrfunktion und Graph am Beispiel der allgemeinen quadratischen Funktionen.
2. Diskutieren Sie, wie im Sinne des vernetzten Lernens Beziehungen zwischen quadratischen Funktionen, Höhensatz und Parabeln hergestellt werden können.
3. Skizzieren Sie eine Lernsequenz, in der erarbeitet wird, wie der Graph der allgemeinen quadratischen Funktion durch Abbildungen der Normalparabel gewonnen werden kann!
1. a) Erläutern Sie anhand von Beispielen, was man unter dem Variieren von Aufgaben versteht.
b) Diskutieren Sie Gründe, warum diese Methode im Unterricht praktiziert werden soll.2. Wie können Schülerinnen und Schüler an das Variieren von Aufgaben herangeführt werden?
3. Kann man ein rechtwinkliges Dreieck durch eine Gerade in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen? Bilden Sie unterschiedliche Variationen zu dieser Aufgabenstellung und skizzieren Sie zugehörige Lösungen!
1. Formulieren Sie den Sinussatz und den Kosinussatz für ebene Dreiecke und begründen Sie beide Sätze.
2. Geben Sie einen Überblick über Möglichkeiten, den Kosinussatz im Unterricht zu erarbeiten. Gehen Sie dabei insbesondere auf Lernvoraussetzungen bei Schülerinnen und Schülern ein.
3. Arbeiten Sie eine Unterrichtseinheit aus, in der Aufgaben zur Bestimmung fehlender Stücke eines ebenen Dreiecks mit Hilfe des Kosinussatzes behandelt werden.
1. Begr nden Sie die "drei binomischen Formeln" und geben Sie verschiedene M glichkeiten zur Veranschaulichung an.
2. Erl utern Sie die Bedeutung der binomischen Formeln f r den Algebraunterricht der Realschule.
3. a) Entwickeln Sie eine Aufgabenfolge zur Aneignung dieser Formeln.
b) Beschreiben Sie Schwierigkeiten, die Sch lerinnen und Sch ler beim Arbeiten mit diesen Formeln haben k nnen, und nennen Sie Ma nahmen zu ihrer berwindung.
1. Erl utern Sie den Begriff Exponentialfunktion und nennen Sie wichtige Eigenschaften.
2. a) Welche Bedeutung haben Exponentialfunktionen im Mathematikunterricht der Realschule?
b) Erl utern Sie zwei unterrichtliche Verfahren zur L sung der Gleichung 2x = 15.
3. Skizzieren Sie eine Unterrichtseinheit zur Einf hrung von Exponentialfunktionen.
1. Erl utern Sie verschiedene Verwendungen des Begriffes "senkrecht" in der r umlichen Geometrie (als Relation zwischen Geraden, zwischen Gerade und Ebene, zwischen Ebenen).
2. a) Geben Sie je ein Beispiel f r eine Aussage ber den Begriff "senkrecht" an, das im Unterricht der Realschule bewiesen beziehungsweise nur veranschaulicht werden sollte.
b) Formulieren Sie eine Abfolge von Lernzielen zum Begriff "senkrecht" in der r umlichen Geometrie.
3. Entwerfen Sie eine Unterrichtseinheit, in der die folgende Aufgabe behandelt wird: "Bestimme den Abstand eines Punktes von einer Geraden im Raum".
1. Erl utern Sie den Einfluss des Exponenten r aus R auf die Eigenschaften der Potenzfunktion x --> xr, x aus R0+.
2. Skizzieren Sie den Aufbau der Potenzrechnung im Mathematikunterricht der Realschule. Gehen Sie dabei auch auf die Bedeutung des Permanenzprinzips ein.
3. Entwerfen Sie eine Unterrichtseinheit, in der die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion x --> x , x aus R0+.
1. Erl utern Sie die Drehung als Abbildung der Ebene auf sich. Gehen Sie dabei auch auf Beziehungen der Drehung zu anderen Kongruenzabbildungen ein.
2. Diskutieren Sie unterrichtliche M glichkeiten zur Einf hrung der Drehung.
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema "drehsymmetrische Figuren".
1. Erl utern Sie anhand von Beispielen die Begriffe "Aussage", "Variable", "Aussageform", "Term" und Gleichung.
2. Zeigen Sie typische Schwierigkeiten auf, welche Sch ler beim Umformen von Gleichungen haben k nnen. Erl utern Sie Ma nahmen zur Vorbeugung und Behebung solcher Schwierigkeiten.
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema " quivalenzumformung durch Multiplikation", in der auch eine Begr ndung erarbeitet wird, warum die Multiplikation mit Null auf beiden Seiten der Gleichung keine quivalenzumformung darstellt.
1. Definieren Sie den Begriff Funktion und erl utern Sie anhand von Beispielen, inwieweit man Funktionen als eindeutige Zuordnung beziehungsweise als Menge geordneter Paare auffassen kann!
2. a) Erl utern Sie, an welche inner- und au erschulischen Erfahrungen die Einf hrung des Funktionsbegriffs in der Realschule ankn pfen kann!
b) Geben Sie einen berblick ber die Funktionstypen, die im Mathematikunterricht der Realschule behandelt werden!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der exponentielles und lineares Wachstum gegen bergestellt werden!
1. a) Erl utern Sie den Begriff "Konstruktion mit Zirkel und Lineal"!
b) Erl utern Sie die didaktische Bedeutung von Konstruktionsbeschreibungen im Mathematikunterricht!
2. Ein Sch ler l st die Aufgabe, die Tangente von einem Punkt an einen Kreis zu legen, gem nebenstehender Zeichnung und Anleitung. Diskutieren Sie diese L sung!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der die gemeinsamen Tangenten an zwei Kreise konstruiert werden!
1. Beschreiben Sie die regul ren Vielecke der Ebene und die regul ren (Platonischen) K rper im dreidimensionalen Raum und nennen Sie wichtige Eigenschaften!
2. Erl utern Sie Lernziele f r die Behandlung der Raumgeometrie in der Realschule!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit f r Winkelberechnungen am regul ren Tetraeder: Neigungswinkel zweier Seitenebenen, Neigungswinkel einer Kante gegen eine passende Seitenebene.
1. Definieren Sie die direkte Proportionalit t als Funktion und erl utern Sie typische Eigenschaften!
2. Erl utern Sie Themen aus dem Mathematikunterricht der Realschule, in denen die direkte Proportionalit t eine Rolle spielt!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zur Einf hrung der direkten Proportionalit t!
1. Erl utern Sie den Begriff des Fl cheninhalts f r ebene Vielecke!
2. Geben Sie einen berblick ber die Behandlung von Fl cheninhalten ebener Figuren im Unterricht und verdeutlichen Sie dabei Beziehungen zwischen Algebra und Geometrie!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema "Fl cheninhalt des Trapezes"!
1. a) Erl utern Sie den Begriff Intervallschachtelung!
b) Erkl ren Sie, wie man mit Hilfe von Intervallschachtelungen den Rauminhalt eines geraden Kreiszylinders bestimmen kann!
2. Beschreiben Sie Situationen im Realschulunterricht, in denen Intervallschachtelungen angewandt werden!
3. Skizzieren Sie eine Unterrichtseinheit, in der die Zahl V2 (Wurzel aus 2) mit Hilfe einer Intervallschachtelung ann hernd berechnet wird!
1. Skizzieren Sie den Aufbau der Fl cheninhaltslehre im Mathematikunterricht der Realschule! Erl utern Sie auch wichtige Begriffe wie Zerlegungsgleichheit und Erg nzungsgleichheit!
2. Zeigen Sie auf, wie am Beispiel von Fl cheninhaltsformeln Zusammenh nge zwischen Algebra und Geometrie deutlich gemacht werden k nnen!
3. Skizzieren Sie eine Unterrichtssequenz zum Thema "Fl cheninhalt des Kreises"!
1. a) Geben Sie eine bersicht ber Teilbarkeitsregeln, die sich auf die Darstellung nat rlicher Zahlen im Dezimalsystem beziehen!
Klassifizieren Sie diese Regeln!
b) Begr nden Sie im Dezimalsystem die Regeln f r die Teilbarkeit durch 4 beziehungsweise durch 3!2. a) Erl utern Sie die fachliche und didaktische Bedeutung folgender Problemstellung:
Addiere drei aufeinander folgende nat rliche Zahlen. Was f llt dir auf?b) Formulieren Sie zu obiger Aufgabe 2a) durch Variieren m gliche Folgeprobleme und diskutieren Sie diese!
3. Skizzieren Sie eine Unterrichtseinheit, in der Problemstellungen aus Aufgabe 2 behandelt werden!
1. Leiten Sie die Volumenformeln f r Pyramide und Kegel her!
2. a) Erl utern Sie das Cavalierische Prinzip und geben Sie eine sch lergem e Begr ndung!
b) F hren Sie an zwei Beispielen die Verwendung des Cavalierischen Prinzips im Unterricht der Realschule aus!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zur Berechnung des Volumens eines Pyramidenstumpfes!
1. Erl utern Sie, wie man den Bereich N der nat rlichen Zahlen zum Bereich Z der ganzen Zahlen erweitert! F hren Sie die grundlegenden Eigenschaften des Zahlenbereichs Z an!
2. Beschreiben Sie Themen bzw. Situationen im Mathematikunterricht der Realschule, in denen negative reelle Zahlen eine Rolle spielen!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema Multiplikation negativer Zahlen!
1. Leiten Sie eine L sungsformal f r quadratische Gleichungen der Form ax2+bx +c=0 f r a ¹0 her! Begr nden Sie die einzelnen Umformungsschritte!
2. Diskutieren Sie, ob im Unterricht quadratische Gleichungen vor oder nach quadratischen Funktionen behandelt werden sollten!
3. Skizzieren Sie eine Unterrichtssequenz zur Behandlung quadratischer Gleichungen!
1. Beschreiben Sie M glichkeiten zweidimensionaler Darstellungen von K rpern!
2. Erl utern Sie unterrichtliche Probleme beim Zeichnen der Schr gbilder von Prisma, Zylinder und Pyramide!
3. Entwerfen Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema Schr gbild eines regul ren Tetraeders!
1. a) Erl utern Sie den Begriff rationale Zahl!
b) Schildern Sie verschiedene Vorstellungen f r Bruchzahlen!
2. Begr nden Sie, warum man im Mathematikunterricht beide Darstellungen f r Bruchzahlen - gew hnliche Br che und Dezimalbr che - gr ndlich behandeln sollte.
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der die Multiplikation gew hnlicher Br che behandelt wird.
1. a) Formulieren Sie die wichtigsten Winkels tze am Kreis (einschlie lich der S tze ber das Sehnenviereck und den Thaleskreis)! Erl utern Sie logische Abh ngigkeiten zwischen diesen S tzen!
b) Beweisen Sie, da ein konvexes Viereck genau dann ein Sehnenviereck ist, wenn sich gegen berliegende Winkel zu 180 erg nzen! Gehen Sie dabei auch auf die verwendeten Voraussetzungen ein.
2. Beschreiben Sie die Rolle von Fallunterscheidungen bei der Behandlung der Winkels tze am Kreis!
3. Skizzieren Sie eine Unterrichtseinheit, in der folgende Frage behandelt wird:
Gibt es einen Punkt im Inneren eines gegebenen Dreiecks, von dem aus alle drei Seiten unter demselben Winkel erscheinen?1. Erl utern Sie die Einf hrung der Vektoraddition und ihrer Rechengesetze im Zusammenhang mit der Parallelverschiebung.
2. Diskutieren Sie unterrichtliche Zug nge zur Einf hrung des Skalarprodukts und seiner Rechengesetze!
3. Skizzieren Sie eine Unterrichtseinheit, in der der Kosinussatz mit Hilfe von Vektoren bewiesen wird!
1. a) Beweisen Sie den Satz:
Zwei Seitenhalbierende eines Dreiecks sind gleich lang genau dann, wenn das Dreieck gleichschenkelig ist.
b) Erl utern Sie die Begriffe notwendige Bedingung, hinreichende Bedingung!
2. Skizzieren Sie den Aufbau der Dreiecksiehre im Unterricht der Realschule!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der bewiesen wird, dass sich die drei H hen eines beliebigen Dreicks in einem Punkt schneiden! Diskutieren Sie dabei auch die Lage des H hcnschnittpunktes in Abh ngigkeit von den Dreieckswinkeln!
1. Erl utern Sie logische Zusammenh nge zwischen dem Satz ber die Winkelsumme im Dreieck und Aussagen ber Winkel an Geradenkreuzungen!
2. Er rtern Sie M glichkeiten, wie im Unterricht der Satz ber die Winkelsumme im Dreieck plausibel gemacht und begr ndet werden kann!
3. Erstellen Sie eine Unterrichtseinheit zur Herleitung der Winkelsumme in allgemeinen n-Ecken!
1. Erl utern Sie, wie man folgende Symmetrien von Funktionsgraphen mit Hilfe von Funktionalgleichungen beschreiben kann:
- Symmetrie zu einer beliebigen Parallelen zur y-Achse.
- Symmetrie zu einem beliebigen Punkt.
- Verschiebungssymmetrie parallel zur x-Achse.2. Schildern Sie Situationen aus der Funktionenlehre der Realschule, in denen der Aspekt Symmetrie eine Rolle spielt!
3. Entwerfen Sie eine Unterrichtseinheit, in der die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion der Quadratfunktion xl—> x2 eingef hrt wird!
1. Erl utern Sie den Begriff Parallelprojektion, und begr nden Sie wichtige Eigenschaften!
2. Entwickeln Sie eine Lernsequenz zum Thema Schr gbild von Prismen!
3. Skizzieren Sie eine Unterrichtseinheit, in er das Schr gbild eines geraden, stehenden Prismas mit einem regelm igen Sechseck als Grundfl che konstruiert wird!
1. a) Erl utern Sie den Begriff Dezimalbruch!
b) Beschreiben und begr nden Sie ein Verfahren, nach dem ein periodischer Dezimalbruch in einen gew hnlichen Bruch verwandelt werden kann!
2. Schildern Sie Situationen aus dem Mathematikunterricht der Realschule, in denen irrationale Zahlen eine Rolle spielen!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der
n herungsweise berechnet wird!
1. a) Definieren Sie die Begriffe: Teiler einer nat rlichen Zahl, Vielfaches einer nat rlichen Zahl, gr ter gemeinsamer Teiler zweier nat rlicher Zahlen, kleinstes gemeinsames Vielfaches zweier nat rlicher Zahlen, Teilerfremdheit zweier nat rlicher Zahlen!
b) Beweisen Sie: Das Produkt zweier teilerfremder, nat rlicher Zahlen ist genau dann eine Quadratzahl, wenn beide Zahlen Quadratzahlen sind!
2. Erl utern Sie Situationen im Realschulunterricht, in denen
a) Faktorisierung von nat rliche Zahlen,
b) Faktorisierung von algebraischen Termen
angewandt wird!
3. Skizzieren Sie eine Unterrichtseinheit zur Einf hrung des Begriffs des gr ten gemeinsamen Teilers von zwei nat rlichen Zahlen!
1. a) Nennen Sie grundlegende Eigenschaften f r das Rechnen mit rationalen Zahlen!
b) Begr nden Sie damit die binomische Formel (a+b)(a-b) = a2-b2!
2. Erl utern Sie die Bedeutung der binomischen Formeln f r den Mathematikunterricht der Realschule!
3. Die unten abgebildete Figur kann zur Entdeckung und Begr ndung des Satzes von Pythagoras herangezogen werden. Entwickeln Sie hierzu eine Unterrichtseinheit!
1. a) Erl utern Sie die Begriffe: Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel! Nennen Sie wichtige S tze ber diese Winkelpaare!
b) Wie lassen Sie die Relationen senkrecht und parallel f r Geraden der Ebene mit Hilfe dieser Begriffe definieren!
2. a) Diskutieren Sie verschiedene M glichkeiten, die Relation parallel f r Geraden der Ebene im Unterricht zu erarbeiten!
b) Beschreiben Sie, wie man mit unterschiedlichen Zeichenwerkzeugen die Aufgabe praktisch l sen kann, durch einen Punkt P au erhalb einer Geraden g die Parallele zur Geraden g zu zeichnen! Diskutieren Sie diese Methoden!
3. Skizzieren Sie eine Unterrichtseinheit, in der erarbeitet wird, da alle Kongruenzabbildungen parallelentreu sind!
1. Erl utern Sie den Begriff Volumen eines K rpers!
2. Geben sie einen berblick ber die Volumenformeln im Geometrieunterricht der Realschule! Begr nden Sie eine geeignete Reihenfolge f r deren Behandlung im Unterricht!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der das Kugelvolumen erarbeitet wird!
1. a) Erl utern Sie die Begriffe Term, Definitionsmenge eines Terms, quivalenz von Termen!
b) Welche M glichkeiten gibt es, die quivalenz von Termen nachzuweisen?
c) Beschreiben Sie verschiedene Arten von Termumformungen!
2. Schildern Sie Situationen aus dem Mathematikunterricht der Realschule, in denen Terme und Termumformungen verwendet werden!
3. Beschreiben Sie Lernschritte zur Erarbeitung des Themas Bruchterme und Bruchgleichungen!
1. a) Geben Sie eine bersicht ber Eigenschaften der Potenzfunktionen mit ganzzahligen und rationalen Exponenten!
b) Erl utern Sie an einem Beispiel aus der Potenzrechnung die Anwendung des Permanenzprinzips!
2. Beschreiben Sie ein sch lergerechtes numerisches Verfahren zur n herungsweisen Bestimmung von
3. Skizzieren Sie eine Unterrichtssequenz zur Behandlung der Potenzrechnung und der Potenzfunktionen in der 10. Klasse!
1. a) Geben Sie eine bersicht ber die Abbildungen, die im Geometrieunterricht der Realschule behandelt werden!
b) Charakterisieren Sie die Kongruenzabbildungen der Ebene!
2. Entwickeln Sie eine Lernzielsequenz zu den Abbildungen, die in der 7. Jahrgangsstufe der Realschule ausgehend von der Achsensymmetrie betrachtet werden k nnen!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zur Herleitung der Abbildungsgleichung der Drehung!
1. Diskutieren Sie Beweism glichkeiten f r die Satzgruppe des Pythagoras! Gehen Sie dabei auch auf die Reihenfolge bei der Behandlung der S tze ein!
2. a) Formulieren Sie Lernziele zum Satz des Pythagoras!
b) Beschreiben Sie Anwendungen der Satzgruppe des Pythagoras! Erl utern Sie dazu unterrichtliche Zug nge!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der funktionale Betrachtungen zur "Pythagorasformel" a2+b2=c2 angestellt werden!
1. Erl utern Sie verschiedene Verfahren zur L sung eines Systems von zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen! Formulieren Sie dazu Lernziele!
2. Entwickeln Sie eine Aufgabenfolge zur Einf hrung des Additionsverfahrens f r die L sung linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen!
3. Entwerfen Sie eine Unterrichtseinheit, in welcher der Einflu unterschiedlicher Werte der reellen Zahlen a und b auf die Anzahl der L sungen des Gleichungssystems
(a+2)x+4y = 3
2x+ay=b+1
untersucht wird!
1. Erl utern Sie die Begriffe Kongruenz, Zerlegungsgleichheit, Erg nzungsgleichheit und Inhaltsgleichheit bei ebene Vielecken!
2. Zeigen Sie, wie im Unterricht Formeln f r die Fl cheninhalte bei Parallelogramm, Dreieck, Trapez, Raute und Drachen hergeleitet werden k nnen!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema Fl cheninhalt des Kreises!
1. Erl utern Sie den Begriff der Logarithmusfunktion, und nennen Sie wichtige Eigenschaften!
2. a) Welche Bedeutung haben Logarithmen bzw. Logarithmusfunktionen im Mathematikunterricht der Realschule?
b) Wie kann man im Unterricht n herungsweise log27 bestimmen? Erl utern Sie das Verfahren!
3. Skizzieren Sie eine Unterrichtssequenz zum Thema Exponential- und Logarithmusfunktionen!
1. Funktionen mit der Gleichung y = ax2 + bx + c mit a, b, c e+ bx + c mit a, b, c Gleichung y = ax?ff?[ a) Erl utern Sie, wie man die Graphen dieser Funktionen aus dem Graph der Grundfunktion mit der Gleichung y = x2 erh lt!
b) Beschreiben Sie wesentliche Unterschiede zwischen den quadratischen Funktionen und den linearen Funktionen (das hei t Funktionen mit Gleichungen y=mx+t mit m,t R, m 0).
2. Beschreiben Sie Ziele, die mit der Behandlung von quadratischen Funktionen in der Schule erreicht werden k nnen!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der der Begriff "Extremwert einer quadratischen Funktion" erarbeitet wird!
1. Beschreiben Sie ein mathematisches N herungsverfahren zur Bestimmung des Inhaltes der Kreisfl che!
2. Beschreiben Sie Ziele zum Thema Kreisberechnung!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zur Berechnung der Fl che eines Kreissektors!
1. Erl utern Sie den Begriff "Sinusfunktion" und begr nden Sie wichtige Eigenschaften!
2. Beschreiben Sie unterrichtliche Zug nge zur Sinusfunktion und typische Anwendungen!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der der Sinussatz erarbeitet wird!
1. Erl utern Sie die indirekte Proportionalit t und ihre Eigenschaften. Charakterisieren Sie sie insbesondere als Funktion!
2. Schildern Sie Situationen aus verschiedenen Bereichen des Mathematikunterrichts, in denen indirekte Proportionalit ten eine Rolle spielen!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der die Eigenschaften der indirekten Proportionalit t beim L sen einer Sachaufgabe eingesetzt werden. Gehen Sie dabei insbesondere auf verschiedene L sungswege ein!
1. Erl utern Sie mathematische Ideen zur Herleitung der Volumenformeln f r Prismen und Pyramiden!
2. Beschreiben Sie, in welchen Schritten die Volumenberechnung ber alle Jahrgangsstufen der Realschule behandelt wird!
3. Entwerfen Sie eine Unterrichtseinheit, in der das Cavalierische Prinzip erarbeitet und angewandt wird!
1. Funktionen mit Gleichungen der Form y = a k(x-b)+c mit k e R+\{1}, a,b,c \{1}, a,b,c en mit Gleichungen der Form y =a) Erldutern Sie, wie man die Graphen zu diesen Funktionen aus den Graphen der Grundfunktionen mit der Gleichung y = kx erh lt!
b) Nennen Sie wesentliche Eigenschaften von Exponentialfunktionen!
2. Zeigen Sie Wege auf, wie man im Mathematikunterricht der Realschule Einsicht in die Gesetzm igkeiten des exponentiellen Wachstums vermitteln kann!
3. Skizzieren Sie eine Unterrichtseinheit zur Erarbeitung der Zinseszinsformel!
1. Erl utern Sie, welche Abbildungstypen sich aus den Verkettungen von Drehungen der Ebene ergeben k nnen!
2. Formulieren Sie Lernziele zum Thema "Drehungen der Ebene"!
3. Skizzieren Sie eine Unterrichtssequenz zur Behandlung der Punktspiegelung!
1. Geben Sie eine bersicht ber die m glichen Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen im Raum!
2. Entwickeln Sie verschiedene Winkelbegriffe im Raum und formulieren Sie dazu Lernziele!
3. Entwerfen Sie eine Unterrichtseinheit zur Behandlung des folgenden Satzes:
Gehen die drei paarweise verschiedenen Geraden g,h und k durch einen Punkt P und ist g senkrecht zu h und k, so ist g senkrecht zu allen durch P verlaufenden Geraden in der von h und k erzeugten Ebene.
1. a) Definieren Sie die Begriffe hnlichkeitsabbildung und hnlichkeitsrelation in der Ebene!
b) Nennen Sie Kriterien zum Nachweis der hnlichkeit zweier ebener Dreiecke und beweisen Sie eines davon!
2. Erl utern Sie Anwendungen der Vierstreckens tze im Rahmen der hnlichkeitslehre in der Realschule!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der ein Lehrsatz zum Nachweis der hnlichkeit zweier Dreiecke bewiesen wird!
1. a) Entwickeln Sie zwei verschiedene Beweise f r den Lehrsatz:
Die zu einem Kreisbogen geh renden Umfangswinkel sind halb so gro wie der zu ihm geh rende Mittelpunktswinkel!
b) Vergleichen Sie die Beweise hinsichtlich ihrer Voraussetzungen und diskutieren Sie ihre Verwendung im Unterricht!
2. Beschreiben Sie unterrichtliche Anschlu themen zu dem o. g. Lehrsatz!
3. Arbeiten Sie eine Unterrichtseinheit zur Behandlung des o. g. Lehrsatzes aus!
1. Formulieren Sie die Vorzeichenregeln f r die Multiplikation rationaler Zahlen und geben Sie verschiedene Begr ndungen an!
2. Erl utern Sie die Bedeutung des Permanenzprinzips f r den Aufbau der Potenzrechnung in der Realschule!
3. Entwerfen Sie eine Unterrichtseinheit zur Einf hrung der Multiplikation zweier negativer Zahlen!
1. Erl utern Sie den schrittweisen Aufbau des Potenzbegriffs von nat rlichen bis hin zu irrationalen Exponenten!
2. Beschreiben Sie Themenkreise aus dem Mathematikunterricht der Realschule, in denen Potenzen eine wichtige Rolle spielen!
3. Skizzieren Sie eine Unterrichtseinheit, in der Wurzelfunktionen als Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen mit Gleichungen der Form y = xn , n e N, x e
erarbeitet werden!
1. a) Definieren Sie das arithmetische Mittel A und das geometrische Mittel G von n reellen Zahlen x1,..., xn!
b) Beweisen Sie f r n = 2 die Ungleichung G A!
2. Erl utern Sie Themen aus dem Mathematikunterricht der Realschule, in denen die genannten Mittel eine Rolle spielen!
3. Entwickeln Sie eine Lerneinheit zur Einf hrung des arithmetischen Mittels!
1. a) Geben Sie drei verschiedene Definitionen der Parallelit t zweier Geraden in der Ebene an!
b) Diskutieren Sie diese Definitionen im Hinblick auf ihre Eignung f r den Unterricht!
2. Er rtern Sie unterschiedliche Zug nge zum Begriff der Verschiebung in der Ebene!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema "Bandornamente"!
1. Erl utern Sie den Einflu des Exponenten auf die Eigenschaften der reellen Potenzfunktion
2. Beschreiben Sie Situationen, in denen die Potenzschreibweise mit ganzzahligen Exponenten zweckm ig verwendet werden kann!
3. Entwickeln und begr nden Sie eine Unterrichtseinheit, die die folgende Aufgabe aus einem Unterrichtswerk zum Gegenstand hat:
"Im Inflationsjahr 1923 kostete 1 kg pfel 1,4 Billionen Mark.
a) Wie lange w rde man brauchen, um diesen Betrag in Hundertmarkscheinen abzuz hlen, wenn man pausenlos z hlen w rde und jeder Z hlvorgang 0,70 Sekunden dauerte? Ergebnis in Jahren!
b) Was w rde das Geld wiegen, wenn man das Gewicht eines Scheines zu 0,61 g annimmt? Ergebnis in Tonnen!
1. a) Erl utern Sie verschiedene Beweisideen zum Satz des Pythagoras.
b) In welchem Zusammenhang stehen der Satz des Pythagoras, die Beziehung
und der Kosinussatz?
2. Erl utern Sie wichtige Anwendungsm glichkeiten des Satzes von Pythagoras und des Kosinussatzes im Unterricht der Realschule!
3. Arbeiten Sie eine Unterrichtseinheit zur Einf hrung des Kosinussatzes aus!
1. Geben Sie eine systematische bersicht ber die K rper im dreidimensionalen Raum, die im Unterricht der Realschule vorkommen!
2. a) Erl utern Sie das Cavalierische Prinzip, und geben Sie eine im Unterricht der Realschule m gliche Begr ndung!
b) Zeigen Sie an einem Beispiel ausf hrlich die Verwendung des Cavalierischen Prinzips im Unterricht der Realschule!
3. Entwerfen Sie eine Unterrichtseinheit zur Berechnung des Volumens eines Pyramidenstumpfes aus Grundfl che, Deckfl che und H he!
1. a) Geben Sie verschiedene Definitionen f r die Ellipse an!
b) Erl utern Sie, wie man die Ellipse als Bild eines Kreises erhalten kann! Bestimmen Sie damit eine Gleichung f r die Ellipse!
2. Nennen Sie verschiedene Situationen aus dem Mathematikunterricht der Realschule, die auf Ellipsen f hren k nnen! Diskutieren Sie Ziele, die man bei der Behandlung der Ellipse anstreben soll!
3. a) Erl utern Sie Probleme, die sich bei der Zeichnung des Schr gbildes eines Zylinders ergeben!
b) Skizzieren Sie, wie man diese Aufgabe im Rahmen des Themas "Schr gbilder von K rpern" behandeln kann!
1. a) Erl utern Sie die Begriffe Mittelpunktswinkel, Umfangswinkel, Sehnen-Tangenten-Winkel!
b) Geben Sie den Satz des Thales an! Formulieren Sie die Umkehrung dieses Satzes!
2. Geben Sie Schritte an, wie man den folgenden Satz und seinen Beweis im Unterricht erarbeiten kann!
der Mittelpunktwinkel ist doppelt so gro wie jeder Umfangswinkel ber derselben Kreissehne.
(Beachten Sie auch die notwendigen Fallunterscheidungen!)
3. a) In welchem thematischen Zusammenhang kann man die folgende Aufgabe behandeln?
Parallel zur 30m langen Front eines Hauses verl uft in 15m Abstand eine Stra e.
(1) Bestimme Punkte, von denen aus die Hausfront unter einem Sehwinkel von 60 erscheint.
(2) Welches ist der gr te Sehwinkel, unter dem die Hausfront von der Stra e aus erscheinen kann?
b) Skizzieren Sie eine L sung!
c) Welche didaktische Funktion kann diese Aufgaben haben? Gehen Sie auf Ziele und Schwierigkeiten ein!
1. Nennen Sie wichtige Eigenschaften der direkten Proportionalit t und der linearen Funktionen und diskutieren Sie Zusammenh nge zwischen diesen Eigenschaften!
2. Erl utern Sie an Beispielen die Bedeutung der in 1. genannten Funktionstypen beim Mathematisieren von Sachsituationen!
3. Entwickeln Sie eine Lerneinheit, in der die Eigenschaften der direkten Proportionalit ten beim L sen einer Sachaufgabe eingesetzt werden! Gehen Sie dabei insbesondere auf verschiedene L sungswege ein!
1. Beweisen Sie eine Formel f r den Fl cheninhalt des Trapezes auf zwei verschiedene Arten! Gehen Sie auf die Voraussetzungen f r diese Beweise ein!
2. a) Erl utern Sie die Bedeutung von Fl cheninhaltsformeln!
b) Zeigen Sie, wie man durch funktionale Betrachtungen das Verst ndnis von Fl cheninhaltsformeln vertiefen kann!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der eine Fl cheninhaltsformel f r das Trapez erarbeitet wird!
1. a) Erl utern Sie grundlegende Eigenschaften der Geradenspiegelung!
b) Welche Beziehungen bestehen zwischen Geradenspiegelungen und geometrischen Grundkonstruktionen?
2. a) Geben Sie Beispiele zu verschiedenartigen Symmetrien aus dem Erfahrungsbereich der Sch ler!
b) Welche Bedeutung haben Symmetrien im Mathematikunterricht der Realschule?
3. Skizzieren Sie eine Unterrichtssequenz, die darauf abzielt, die Vierecke mit Hilfe von Symmetrien zu klassifizieren!
1. Erl utern Sie den Einflu der Parameter a,b,c auf die Eigenschaften der quadratischen Funktion f mit f(x) = ax2 +bx+c.
2. Zeigen Sie die Bedeutung quadratischer Funktionen und deren Graphen f r das L sen quadratischer Gleichungen im Unterricht auf!
3. Skizzieren Sie eine Unterrichtssequenz, in der die Bestimmung von Extremwerten quadratischer Funktionen erarbeitet wird!
1. a) Geben Sie verschiedene Typen und Geradengleichungen der ebenen Geometrie an, und erl utern Sie diese!
b) Diskutieren Sie den Einflu unterschiedlicher Grundmengen auf die zu den Geradengleichungen geh renden Graphen an den Beispielen
2. a) Zeigen Sie, wie man mit den Sch lern die Bedeutung von m und b in y=mx+b erarbeiten kann!
b) Welche Probleme ergeben sich im Unterricht bei der Darstellung von Parallelen zu den Achsen mit Hilfe von Gleichungen?
3. a) Erl utern Sie, welche algebraischen Einsichten Sch ler aus der Diskussion des Schnitts zweier Geraden gewinnen k nnen!
b) Beschreiben Sie, wie man mit den Sch lern das "Gleichsetzungsverfahren" zum L sen eines Systems von zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen erarbeiten kann! Wie k nnen algebraische Verst ndnisschwierigkeiten durch eine geometrische Deutung berwunden werden?
1. a) Entwickeln Sie eine sch lergem e L sung der folgenden Aufgabe: "Ermittle die L sungsmenge bez glich der Grundmenge Q: 7x<42 3x-1>14 x-5<10."
b) Erl utern Sie wichtige Begriffe und Vorgehensweisen, die bei der Behandlung von Ungleichungssystemen eine Rolle spielen!
2. Nennen Sie typische Schwierigkeiten, die Sch ler beim L sen von Ungleichungen und Ungleichungssystemen haben k nnen, und gehen Sie auf m gliche Hilfen ein!
3. Skizzieren Sie eine Unterrichtseinheit, die die folgende Aufgabe zum Thema hat: "Die L nge
der Seite [AD] von Rechtecken ABCD ist gr er als 6 cm und kleiner als 10 cm. Au erdem ist die Seite [AD] um 6 cm k rzer als die doppelte L nge der Seite [AB].
a) Wie lang k nnen die Rechteckseiten sein?
b) Zwischen welchem kleinsten und welchem gr ten Wert liegen die Fl cheninhalte der Rechtecke ABCD?"
1. a) Definieren Sie die Begriffe "Funktion", "injektive Funktion", "surjektive Funktion" und "bijektive Funktion". Geben Sie jeweils ein Beispiel und ein Gegenbeispiel an! Skizzen!
b) Erl utern Sie die Begriffe "Funktionsterm", "Funktionsgleichung", "Funktionswert", "Funktionsvorschrift" und "Funktionsgraph"! Geben Sie jeweils ein Beispiel an, ggfs. mit Skizze!
2. Erl utern Sie verschiedene Darstellungsformen f r Funktionen und den Transfer zwischen ihnen aus didaktischer Sicht!
3. Skizzieren Sie eine Unterrichtssequenz zur Behandlung der quadratischen Funktionen!
1. a) Ein Kapital K0 werde zu festem Zinssatz p angelegt. Leiten Sie eine Formel f r das Kapital Kn nach n Jahren her!
b) Begr nden Sie folgende Faustregel f r die Anzahl d der Jahre, nach denen sich ein Kapital bei niedrigem Zinssatz p verdoppelt: p d = 69.
2. Beschreiben und diskutieren Sie verschiedene Verfahren, mit denen die Grundaufgaben der Prozentrechnung gel st werden k nnen!
3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der aus vermehrtem oder vermindertem Grundwert bei gegebenem Prozentsatz der Grundwert zu bestimmen ist!
1. Erl utern Sie folgende Begriffe:
- Betrag einer reellen Zahl,
- Betragsfunktion,
- Betrag eines Vektors (im R2)
2. a) Welche Rolle spielen Absolutbetr ge im Mathematikunterricht der Realschule?
b) Nennen Sie typische Schwierigkeiten, die Sch lerinnen und Sch ler beim Arbeiten mit Betr gen haben, und geben Sie geeignete Verst ndnishilfen an!
3. Entwerfen Sie eine Unterrichtseinheit, die die L sung der folgenden Aufgabe zum Ziel hat:
"Zeichne den Graphen zu y | x - 2 | - 2,5 bez glich G = QxQ. Beschreibe ihn durch ein Ungleichungssystem ohne Absolutbetr ge."
1. a) Entwickeln Sie den Begriff des Fl cheninhalts ebener Figuren! Gehen Sie dabei insbesondere auf die Begriffe "zerlegungsgleich" und "fl cheninhaltsgleich" ein!
b) Zeigen Sie, da die Fl cheninhalte einen Gr enbereich bilden!
2. a) Welche Ziele sollen in der Realschule mit der Formenlehre und der Inhaltslehre ebener Figuren und Fl chen angestrebt werden?
b) Welche algebraischen F higkeiten werden in der Inhaltslehre f r den Umgang mit Formeln vorausgesetzt?
3. Skizzieren Sie eine Unterrichtssequenz zur Herleitung der Fl cheninhaltsformeln f r spezielle Vierecke! Gehen Sie auf die Voraussetzungen ein, und begr nden Sie die Reihenfolge und die Auswahl der Figurentypen!
1. Nennen und erl utern Sie Begriffe, die bei der Erarbeitung des Unterrichtsthemas Funktionen der Form y=mx+t in der Realschule eine Rolle spielen!
2. Entwickeln Sie eine sch lergem e Herleitung f r die Gleichung des Geradenb schels mit dem B schelpunkt B(xB yB)!
Welche Kenntnisse und F higkeiten werden dabei ben tigt?
3. Entwerfen Sie eine Unterrichtseinheit, in der folgende Aufgabe bearbeitet wird! Zeichne das Dreieck
ABC mit A(-4/-3), B(6/2) und C(0/4) in ein Koordinatensystem! Auf der Parallelen p zu AB durch C w hle den Punkt C' so, da
1. Entwickeln Sie sch lergem e Beweise f r folgende Winkels tze am Kreis:
- Umfangswinkel ber dem gleichen Kreisbogen sind gleich.
- Ein spitzer Umfangswinkel ist gleich der H lfte des zugeh rigen Zentriwinkels.
- Gegen berliegende Winkel im Sehnenviereck erg nzen sich zu 180 .
- Der Umfangswinkel ber einem Halbkreisbogen ist ein rechter Winkel.
2. Beschreiben Sie f r diese Beweise die notwendigen Vorkenntnisse und die logischen Abh ngigkeiten der S tze untereinander!
3. Skizzieren Sie eine Unterrichtseinheit, in der die folgende Frage behandelt wird: Gibt es einen Punkt im Inneren eines gegebenen Dreiecks, von dem aus alle drei Seiten unter demselben Winkel erscheinen?
1. a) Konstruieren Sie eine Intervallschachtelung f r das Volumen einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfl che!
b) Leiten Sie daraus die Volumenformel f r diesen Pyramidentyp ab!
2. Geben Sie einen berblick ber Themen, die bei der unterrichtlichen Behandlung der Pyramide in der Realschule eine Rolle spielen!
3. Entwerfen Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema "Volumen der Pyramide"!
1. Erl utern Sie die Abbildungstypen, die sich aus der Verkettung von Achsenspiegelungen der Ebene ergeben!
2. Geben Sie zu zwei der unter 1. genannten Abbildungstypen jeweils eine Beweisaufgabe (mit sch lergerechter Musterl sung) an, in der dieser Typ verwendet wird!
3. Formulieren Sie Lernziele zum Thema Kongruenzabbildungen!
4. Skizzieren Sie eine Unterrichtseinheit zu dem Satz: sind ABC und A'B'C' kongruente Dreiecke, so gibt es eine Verkettung von h chstens drei Achsenspiegelungen, die das Dreieck ABC in das Dreieck A'B'C' berf hrt.
1. Erl utern Sie, was man unter Gleichungen mit Formvariablen versteht! Gehen Sie auf typische Schwierigkeiten beim L sen solcher Gleichungen ein!
2. Skizzieren Sie einen unterrichtlichen Einstieg in das Thema "Gleichungen mit Formvariablen"!
3. a)Entwickeln Sie eine sch lergem e L sung f r die folgende Aufgabe, und zeigen Sie die speziellen Schwierigkeiten auf!
Durch die Gleichung y=x2+2bx+2b+b2
ist eine Parabelschar festgelegt. Ermittelt werden sollen
(1) die Gleichungen derjenigen Scharparabeln, die durch den Punkt A(-1 5)
(2) die Gleichung des Tr gergraphen der Scheitelpunkte der Scharparabeln.
b) Beschreiben Sie, welche Bedeutung diese Aufgabe im Mathematikunterricht hat!
1. Erl utern Sie die Begriffe Dezimalbruch, rationale Zahl, reelle Zahl!
2. Zeigen Sie, wie man mit den Sch lern einen Beweis der Irrationalit t von
3. a) Die Fl cheninhaltsbestimmung f r das Rechteck erfordert beim berg nge von nat rlichen zu rationalen und von rationalen zu reellen Ma zahlen besondere berlegungen. Erl utern Sie diese!
b) Beschreiben Sie weitere Fragestellungen aus dem Geometrieunterricht, die entsprechende berlegungen erfordern!
1. a) Erl utern Sie verschiedene L sungsverfahren f r Systeme von zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen!
b) Geben Sie anhand von graphischen Darstellungen M glichkeiten f r das L sungsverhalten an!
2. Beschreiben Sie eine Abfolge von Lernschritten, die die L sung eines solchen Gleichungssystems mit Hilfe der Gleichsetzungsmethode zum Ziel hat!
3. Skizzieren Sie eine Unterrichtseinheit, in deren Mittelpunkt die folgende Aufgabe steht:
Die Bahnverbindung zweier St dte A und B ist 1155km lang. Um 12.45Uhr f hrt ein Zug von A ab und trifft um 2.45 in B ein. Um 10.15 Uhr ist bereits ein Zug von B nach A abgefahren. Als Ankunftszeit in A ist f r diesen Zug 21.15 Uhr angegeben. Wo und wann begegnen sich die Z ge?
1. a) Definieren Sie die Zentrische Streckung und geben Sie wichtige Eigenschaften an!
b) Zeigen Sie eine bersicht ber die hnlichkeitsabbildungen!
2. Zeigen Sie, wie man im Unterricht die Abbildungsgleichungen f r die Zentrische Streckung gewinnt!
3. Skizzieren Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema:
Die Ver nderung des Fl cheninhalts von Figuren bei Zentrischer Streckung.
1. a) Was versteht man unter einem regul ren Polyeder?
b) Zeigen Sie, da als Begrenzungsfl chen f r regul re Polyeder nur Dreiecke, Vierecke und F nfecke auftreten k nnen!
c) Geben Sie f r jeden der f nf m glichen Typen regul rer Polyeder die Eckenzahl e, die Kantenzahl k sowie die Fl chenzahl f an und bestimmen Sie damit jeweils e+f+k.
2. Erl utern Sie die Bedeutung des Themas regul re Polyeder im Unterricht der Realschule! Geben Sie zu diesem Thema Lernziele an!
3. Arbeiten Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema Inhalt und Oberfl che eines Oktaeders aus!
1. F r welche Werte von a hat die Gleichung
keine, eine oder mehrere L sungen?
2. Welche Einsichten und Kenntnisse ben tigen die Sch ler f r das L sen von Wurzelgleichungen?
3. Entwickeln Sie eine Sequenz von bungsaufgaben zum Thema Wurzelgleichungen!
1. Erl utern Sie Zug nge zu den Binomialkoeffizienten!
2. a) (a+b)²=a²+2ab+b²
(a+b)(a-b)=a²-b²
(a-b)²=a²-2ab+b²
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b2
Geben Sie f r diese Formeln geometrische Veranschaulichungen an!
b) Nennen Sie Aufgabentypen aus dem Unterricht der Realschule, bei denen die in 2a genannten Formeln ben tzt werden!
3. Entwerfen Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema "Quadratische Erg nzung"!
1. a) Er rtern Sie, welche Kongruenzabbildungen sich bei der Verkettung von zwei Achsenspiegelungen ergeben k nnen!
b) In welchen F llen kommt es nicht auf die Reihenfolge der Achsenspiegelungen an?
2. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der die Hintereinanderausf hrung von zwei Spiegelungen an zwei sich schneidenden Geraden a und b behandelt wird!
3. Erl utern Sie, wie man im Unterricht die Achsensymmetrie von Funktionsgraphen behandeln kann!